培养求异思维 提高数学素养

   随着素质教育的发展，考试制度的改革，数学科作为基础学科，其问题的解决能力不仅是数学素质的重要体现，更是人适应社会生活能力的体现。数学教育者的神圣使命是引导学生学会科学思维的方法，借以挖掘自身潜能，提高学习质量、效率和整体素质。

    思维是人类特有的一种脑力劳动，哥德曾说：经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸背面的话。“纸背面的话”就是指思维，指要思要想、多思多想。
求异思维也指发散思维，指思考问题时注重多思路、多方案；解决问题时，注重多途径、多方式，最终达到思维目标。它要求能放开眼界，对已有信息进行分析、综合，并科学加工，从而收到“一个信息收入，多个信息输出”之功效，并能开启学生心扉，激发学生潜能，提高数学素养。
下面就以笔者在数学教学中，如何培养学生的求异思维，提高数学素养略作探讨。

一、一题多法，开阔思维

     一题多法即对同一题目，从不同角度运用不同的思维，联系各种数学背景，采用不同的数学方法，广开思路去分析探讨，从而获得多种解题途径。
例1、已知f(x),  f(α),  f(y)成等差数列，g(x),  g(β),  g(y)也成等差数列，且 f(x)=              ，g(x) = sin x , α,β,  x ，y∈(－     ，    ），x≠y,  求证：α>β。
思路一：容易想到，要证：α>β，而sin x在(－     ，   )单调增，故即要证sin α> sinβ，即证sin α－ sinβ> 0，由题意2f (α) =f (x)+f (y)可解得：
sinα=                                      ，同理可得出：sinβ=  (sinx+siny),作差后判断符号即可，证明略。
思路二:由已知f(x) = -1+            ,  即f(x)+1 =             ,  由2f (α )= f(x) + f (y)得：              =               +             ≥2
即1-sinα   <                                                 由2g(β) = g(x) + g(y)有 2 ( 1- sinβ) = (1-sinx) + (1-siny) > 2                                 , 即1-sinβ>                            
由不等式的传递性有1-sinβ >1-sinα ,故sinα  > sinβ，下略。
思路三：在思路二中1-sinx与1-siny总是以整体形式出现，为简化过程，可以想到利用整体代换，令m = 1-sinx ,  n = 1-siny , 则有：              =     +      … (1)；  2（1－sinβ) = m + n… (2)，易证得
m + n >           (m >0 ,  n > 0 ,  m≠0)，所以: 1-sinα <1-sin ,下略。

思路四:若对(1)，(2)两式认真观察，还会发现它们之间隐含某种关系，若两式相乘，再利用基本不等式得：
                         =2+     +     >4，故1－sinα<1－sinβ，下略。
思路五:由(1), (2)式有mn = (1-sinα)(1-sinβ) ,  m + n = 2(1-sinβ)联想到韦达定理，把m , n看作方程：x2-2(1-sinβ)x + (1-sinα)(1-sinβ) =0的两根，则由△> 0可得1-sin α < 1-sin β,下略。
以上几种思路从不同角度考虑同一个问题，经常进行这种训练，不仅可以使知识纵横联系，而且可对解法择优弃劣，从而提高数学素养。
例2：证明     +      >2     +      (高中数学第三册(上)P16练习1)
教材的用意是用分析法和综合法进行证明，这点不再赘述。本题是比较抽象的数字比较大小，我们根据条件及式子特点进行联想，挖掘问题的背景，进行思维发散，对这些数赋予某种含义，使思维过程灵活化，从而达到培养求异思维的目的。
思路一：由于题中数都有“     ”，联系到函数y =      ,      ,      ,
2     ,     是当自变量分别取6，7，8，5时的函数值，作出y =       的图象。设A(5 ,        ),  B (6 ,       ),   C ( 7,       ),  D (8 ,  2     )，则AD中点纵坐标为：              ，BC中点纵坐标为：           ，结合图像易知：
                 >                    ，故问题获解。
思路二：点M（      ，    ），
N(      , 2      )是等轴双曲线
y2－ x2 = 1上的两点，则
kmn =               ，作出双曲线
及其一条渐近线y = x，从几
何图形的性质可知，直线MN
的斜率小于y =x的斜率，故
原命题获证。
思路三：作Rt△ABC，
使AC =      ，BC =      ，则AB=      ，
延长CB至D，使第三边AD = 2      ，
在△ABD中，由三角形两边之差小于
第三边有：
2     －      <      －       , 故问题可解。
通过上述引导，跳出抽象数字的圈子，联系函数知识，几何知识，开阔了学生思维，有助于问题的解决，更有助于数学思想方法的感悟，求异思维能力也随之提高。

二、多题一法，思维化归

    数学教学实践中，多注意“通法”的教学，经常进行一解多题训练，可以使学生通过某一题的解答，而明白此类题的解法，举一反三，触类旁通，正所谓“教是为了不教”，从而培养良好的思维。
例3：（1）求tan20°+tan40°+     tan20°·tan40°的值。
 （2）在△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC = tanA·tanB·tanC。
 （3）求（1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)的值。
 （4）求tanα·tan(α+60°)+tan(α+60°)·tan(α+120°)+tan(α+120°)·tanα的值。
以上四题从表面看似乎没有直接联系，事实上，它们均可采用逆向思维（公式逆用），用公式tan (α±β) =                             获得求解，其中(1) (2) (3)均可利用变形公式：
tan α + tan β=tan(α +β)(1-tanα tanβ)求解。对(4)题，注意观察可发现，式子中每一项中两角之差均为特殊角，则可联想到公式:tan(α -β) =                       的变形tanα+ tanβ=                 －1,从而使问题解决。

三、一题多问，激发思维

    在教学中，就某一习题提出富有思考性的，有研究价值的问题，引导学生猜想、联想、类比，进而得出新的命题（即一题多变），这对激发学生思维，培养求异思维能力极为重要。
例4：求证：    -          <          -            (a≥3)（高中数学第二册(上)习题6.3）。
在学生解答了这题以后，还可以提出如下问题：
(1)观察数列a , a - 1,  a - 2 ,  a - 3你能提出什么猜想？并证明你的猜想。
学生容易看出a , a - 1 ,  a - 2 ,  a - 3是等差数列，并提出如下猜想：设等差数列a , a + d  ,  a + 2d ,  a + 3d (a > 0 , d > 0) ，求证：
             -              <            -        （证明略）。
(2)由等差数列联想到等比数列，你能得到什么结论？并证明你的结论。
经过思考可得出如下结论：设等比数列a , aq ,  aq2 , aq3 , 其中  a > 0 ,  q > 0。求证：        -          >          -        。
证明提示：         -            = q (         -        )，分q∈(0 , 1 ) , q =1,q∈(1 , +∞ )三种情形考虑。
例5：已知f(x) = 4x2-5x+m，试求满足下列条件的m值。
（1）函数的极值是10。
（2）函数的图像与x轴有两个交点。
（3）函数图像与x轴的两个交点分别在原点的两侧。
（4）函数图像与x轴的两个交点都在原点的右侧。
（5）图像与x轴两个交点间的距离为1。
（6）抛物线与直线y = mx - 1相切。
本题涉及多个分支的基础知识，学生解题思维朝各个知识点发散，形成一个网，这不仅能巩固“双基”，而且能提高综合解题能力。

四、一题多变，创造思维

    一题多变，就是对某一问题的引申、发展和拓宽，增加问题的背景，增大发散程度。在教学中，经常进行“一题多变”训练，不仅可以避免孤立静止地思考问题所带来的局限性，而且还可以激发学生解题的兴趣，使学生能够联想探索中进行思维发散，进行创造性思维培养，养成良好的求异思维能力。
例6：已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G是边CB、CD上的点，且CF : CB = CG : CD = 2 : 3 ，求证：四边形EFGH是梯形。
1、条件不变，探求新结论。
原题条件不变，引导学生观察、作图、推理，尽可能开阔思维，探求可能得出的结论，并给予证明。
上题中已知条件不变，可以得出以下结论（证明略）
（1）EH∥FG
（2）E、F、G、H四点共面
（3）EG、FH相交于一点
（4）EH∥平面BCD，FG∥平面ABD
2、条件改变，探求新结论。
通过改变题中的已知条件，引导学生探求新的结论，能使学生在同类事物的不同形式的比较中，找到其共性，发现其差异。
A、把已知条件中的“F、G”改为中点，其它条件不变，则可以得到，原结论变为“四边形EFGH是平行四边形”。
此外，(1) (2) (3) (4) 均成立外，还可得出：
(5)EF       GH，EH       FG
(6)EG、FH互相平分
(7)EF∥面ADC，HG∥面ABC
B、在A中增加条件“AC = BD”，则还可以得到：
(8)四边形EFGH是菱形
(9)EG⊥HF
C、若使四边形EFGH是矩形，需变换原题中的什么条件？
据平面几何知识和立体几何异面直线所成角的定义，不难得出，只需把B中的“AC = BD”改为“AC⊥BD”即可。
D、若使四边形EFGH是正方形，需变换原题中的什么条件？
只需在B中增加“AC⊥BD”即可。
综合以上的交换，通过多角度的探索，能充分发挥学生思维的能动性，培养其思维的广阔性和创造性。
在科学技术日新月异的今天，求异思维显得更为主要。只有从学生时代抓起、训练起，日积月累，才能养成良好的思维习惯，提高数学素养，进而提高一个人的整体素质。

参考文献：
[1] 源流《发散思维大课堂》，高一数学、高二数学，龙门书局2003年。
[2]希扬《高考大视野·高考强化发散思维训练》，首都师范大学出版社2000年。